Gruppeteori og Enigma

Gruppeteori og Enigma - hvordan matematik knækkede tysk kryptering

Ved denne øvelse vil du se, hvordan den matematiske teori om permutationsgrupper blev brugt til at knække den tyske krypteringsmaskine Enigma, som blev benyttet under Anden Verdenskrig.

I 1928 begyndte den polske efterretningstjeneste at opfange krypterede beskeder sendt af den tyske hær. Man forsøgte straks at bryde krypteringen, men uden held. Det skulle vise sig, at beskederne var blevet krypteret med den nye Enigma-maskine.

Før dette tidspunkt i historien havde kryptoanalyse – kunsten at bryde et kryptosystem – primært bestået af lingvistiske overvejelser eller simpel statistisk frekvensanalyse. Men disse metoder virkede ikke mod Enigma-maskinen, og den polske efterretningstjeneste måtte derfor finde på noget andet. De ansatte derfor tre matematikere, herunder Marian Rejewski, som i løbet af de næste 10 år udviklede mere effektive kryptoanalytiske teknikker end nogen anden.

Permutationsgrupper

En central del af Rejewskis arbejde med Enigma-maskinen bestod i at betragte Enigma krypteringen som en bestemt matematisk struktur, nemlig en permutationsgruppe. Ved at bevise teoremer om den permutationsgruppe, der beskriver Enigma-maskinen, og udnytte den måde, tyskerne brugte maskinen, var Rejewski i stand til at afsløre de hemmelige komponenter i maskinen og udvikle en metoder til løbende at dekryptere de tyske beskeder. Kort før Anden Verdenskrig blev denne viden overleveret til den britiske efterretningstjeneste, som indtil krigens afslutning videreudviklede Rejewskis ideer.

Kryptologi i dag

Selvom Enigma-maskinen ikke længere kan betragtes som et sikkert kryptosystem, kan mange af ideerne bag Engima-maskinen stadig findes i moderne kryptosystemer. I dag er kryptologi i høj grad en blanding af matematik, datalogi og ingeniørvidenskab.

Det skal du lave

Til øvelsen skal du følge i de polske kryptologers fodspor. Du vil blive introduceret til simpel gruppeteori, og permutationsgrupper. Denne teori vil du så bruge til at beskrive Enigma-maskinens matematiske struktur.

Derefter vil du bevise et par matematiske teoremer, der vil gøre dig i stand til at bryde Engima-maskinens kryptering.

Tidspunkt og tilmelding

Tidspunkt:
Torsdag d. 9. november
Kl. 9.00-16.00

Antal deltagere:
12

Tilmelding:
Åbnes 11. oktober
http://www.dtu.dk/SRP

Relevante gymnasiefag

Eksperimentelle fag:
Matematik

Kan kombineres med:
Historie
Informationsteknologi

Arrangør og adresse

DTU Compute, Institut for Matematik og Computer Science.

Bygn. 303B, rum 026,
DTU Lyngby campus

Kontakt

Philip Søgaard Vejre
Ph.d.-studerende
DTU Compute