Foto: DTU

Matematiker med en mission

mandag 24 sep 18
|
af Morten Andersen

DTU Ørsted-forelæsninger

Flere gange om året inviterer DTU nogle af verdens førende forskere til at forelæse om deres fagområde, forskningsresultater og perspektiverne i deres forskningsområde på DTU i Kgs. Lyngby. Forskernes fagområder har alle snitflader til forskningen på DTU.

Forelæsningerne er åbne for alle.

Se eller gense videoer med tidligere forelæsere, og få information om kommende DTU Ørsted-forelæsninger her: kortlink.dk/rn56

Blå bog

Stephen P. Boyd er Samsung Professor of Engineering ved Electrical Engineering Department, Stanford University. Han er uddannet matematiker fra Harvard University i 1980 og ph.d. fra U.C. Berkeley i 1985. Stephen Boyds forskningsgruppe har produceret en række open source-softwarepakker, som bruges verden over til konveks optimering, bl.a. CVX, CVXPY og Convex. Han er medlem af en række videnskabelige selskaber, blandt dem National Academy of Engineering
Mød Stanford-professor Stephen Boyd, der opnår overvældende resultater med en særlig matematisk disciplin – konveks optimering.

DTU bør oprette et kursus i konveks optimering. Og det bør være obligatorisk for samtlige studerende!”

Amerikanere har ry for at være direkte. Stephen P. Boyd, Samsung Professor of Engineering ved Electrical Engineering Department, Stanford University, er ingen undtagelse.

Inden forklaringen på, hvad konveks optimering går ud på, kommer her en hurtig illustration af det momentum, som bevægelsen, der har Stephen Boyd som uofficiel anfører, nyder netop nu. Gennem den seneste halve snes år er konveks optimering taget i anvendelse inden for områder som design af elektroniske kredsløb, kontrolsystemer, signalbehandling, finansielle tjenester, dataanalyse og model-tilpasning. Resultaterne er nærmest overvældende: Optimeringer kan enten ske meget hurtigere eller med langt højere præcision. Det betyder i sidste ende højere udbytter, bedre forudsigelser og flere penge på bundlinjen for virksomheder.

Juvelen i samlingen af resultater er Boyds forskergruppes bidrag til verdens første lodrette landing af en løfteraket, Falcon 9, fra Space Exploration Technologies (i daglig tale SpaceX) i 2017. Den vellykkede landing indvarsler en ny æra inden for rumflyvning, hvor løfteraketter kan blive brugt igen i stedet for at blive forvandlet til skrot. For et halvt år siden offentliggjorde SpaceX, at de brugte software fra Stephen Boyds forskningsgruppe.

”Jeg havde vidst i et stykke tid, at de benyttede vores software, men jeg kan først tillade mig at nævne det nu, hvor de selv har annonceret det.”

Inden for optimering er man normalt glad for forbedringer på måske 10 eller 20 pct. Den slags kan imponere kollegerne – og vil helt sikkert gøre ledelsen af enhver virksomhed særdeles tilfreds – men kan sjældent begejstre den bredere offentlighed. Derfor gav bidraget til SpaceX-projektet en ekstra god fornemmelse.

”I forbindelse med Falcon 9 har vi medvirket til at gøre noget muligt, som tidligere var umuligt. Så i dette tilfælde er størrelsen af forbedringen jo uendelig!”

Og hvad er konveks optimering så?

For at forstå, hvad konveks optimering er, må man vide, hvordan teknisk optimering normalt foregår.

Tag et problem fra hverdagen. Hvordan er sammenhængen mellem vejret og salget af is? Alle ved, at der bliver solgt flere is, når solen skinner, men hvordan får man en mere præcis beskrivelse? Her vil man være nødt til at have data. Det kan f.eks. være salget af is i en kæde af supermarkeder plottet ind i et diagram i forhold til antallet af solskinstimer pr. dag. Tilsammen vil datapunkterne antyde en opadgående kurve. Men der vil også være nogle få punkter, som ligger langt fra det forventede, og mange punkter, som afviger en lille smule. Kunsten er nu at tegne den kurve, som repræsenterer den samlede mængde af datapunkter bedst muligt. Denne kurve vil være en model af sammenhængen – klar til brug for f.eks. den logistikansvarlige hos supermarkedskæden.

Eksakt løsning på komplekse problemer

"Det smarte ved konveks optimering er, at man kan omformulere tilsyneladende meget komplekse problemer til noget, der kan løses eksakt"
Stephen Boyd, Professor, Stanford University

Det matematiske værktøj til at løse opgaven er kendt som ’de mindste kvadraters metode’. Metoden blev udviklet for mere end 200 år siden for at løse problemer inden for astronomi. Kurven, som giver den laveste sum af kvadraterne på afvigelserne af de enkelte punkter fra kurven, er den bedst mulige repræsentation af mængden af data.

”De mindste kvadraters metode er et eksempel på en simpel optimeringsopgave, hvor der er en eksakt løsning. Mange problemer inden for optimering er imidlertid langt mere komplekse end sammenhængen mellem solskinstimer og salget af is. Det smarte ved konveks optimering er, at man kan omformulere tilsyneladende meget komplekse problemer til noget, der kan løses eksakt – helt som om der havde været tale om et ’mindste kvadrater’-problem,” forklarer Stephen Boyd.

En konveks funktion krummer opad. Velkendte konvekse funktioner er kvadratfunktionen (x2 ) og eksponentialfunktionen (ex ).

”Den positive krumning er særdeles praktisk i forhold til optimering. Det betyder, at vi altid vil vide det, når vi har fundet den bedst mulige løsning. Hvis en funktion ikke er konveks, vil man tit stå med noget, som ligner en god løsning, men uden at være sikker på, om der findes en endnu bedre. Inden for konveks optimering er man altid sikker på at være kommet i mål.”

Bidrag til dansk vindkraft

Den grundlæggende matematik blev udviklet for mere end 50 år siden.

”Nogle af de vigtigste arbejder blev udført af sovjetiske matematikere i 1960’erne. Siden har mange forskere beskæftiget sig med konveks optimering, især udvikling af nye algoritmer, som kan håndtere ekstremt store problemer som dem, man møder inden for machine learning. I min forskningsgruppe har vi også bidraget til at udvikle nye metoder, men først og fremmest har vi samlet alle de basale værktøjer på området og gjort dem tilgængelige for en række ingeniørdiscipliner og tilsvarende anvendelser,” siger Stephen Boyd.

Som illustration nævner han et eksempel af stor dansk relevans:
”For et par år siden blev jeg kontaktet af en ingeniør fra en dansk virksomhed inden for vindkraft. Udfordringen var, hvordan man optimerer produktionen fra en offshorevindmøllepark.”

Det er velkendt, at møller, der står bagerst i parken i forhold til vindretningen, vil producere mindre, når de forreste møller skygger for dem. Situationen vil naturligvis skifte, når vindretningen eller vindens styrke ændrer sig. På trods af kompleksiteten lykkedes det Stephen Boyd at formulere opgaven som en konveks funktion. Egentlig var der ganske vist tale om en konkav funktion, hvor det maksimalt opnåelige samlede output var toppen af funktionen, men andre løsninger lå lavere. En konkav funktion krummer nedad og er dermed det omvendte af en konveks funktion. Men for en matematiker kommer det ud på et.

“Pointen er, at det er formuleringen af opgaven, som er den egentlige udfordring inden for optimering. Når en virksomhed eller en ingeniør beskriver et problem, vil du som regel umiddelbart tænke,at det er virkelig kompliceret. Jeg må da også indrømme, at konveks optimering ikke kan bruges på alle problemer – men alligevel på overraskende mange,” siger Stephen Boyd.

Foto: DTU

 Professor Stephen Boyds forskningsgruppe ved Stanford University har samlet alle de basale værktøjer inden for konveks optimering og gjort dem tilgængelige for en række ingeniørdiscipliner.

Matematik i praksis

Matematikprofessoren afslører et trick, han jævnligt bruger:

”Når jeg har lyttet til en beskrivelse af et problem, inviterer jeg personen ud på frokost. Mens vi spiser, vil en studerende fra min gruppe arbejde på sagen. Når vi så vender tilbage fra måltidet, har min studerende en løsning klar, som måske ikke er perfekt, men ofte betydeligt bedre end det, man normalt bruger på det pågældende område.”

Tricket virker altid. ”Når folk ser, hvor hurtigt en studerende har været i stand til at forbedre deres egen bedste metode, får de naturligvis mod på mere. Som regel er vi i stand til at skabe noget, som er en faktor 10 eller 12 mere effektivt i forhold til det, de normalt arbejder med. En matematiker ville normalt være godt tilfreds og ikke gøre mere ved sagen. Vi kan dog lide at følge projekterne lidt længere. Det vil typisk kræve noget mere arbejde at nå frem til en metode, som man kan benytte i praksis,” siger Stephen Boyd og uddyber:

”Inden for ingeniørvidenskab er der ofte underforståede begrænsninger. Ting, man ikke kan gøre eller er nødt til at gøre. Nogle gange vil vores første løsning overtræde den slags regler. Så beklager ingeniøren sig. Men hvordan skulle vi – som matematikere – kunne vide, at man ikke kan hæve trykket så hurtigt i en bestemt slags anlæg? Med andre ord er det vigtigt, at man husker at beskrive de virkelige begrænsninger, som gælder for den løsning, man er ude efter.”

Forhåbentlig fornærmer denne observation kun ingeniørstanden i moderat grad. Faktisk har Stephen Boyd selv en delvist teknisk baggrund.

”Sideløbende med mit studie og i mine første år som ph.d. arbejdede jeg som lydtekniker for rockbands på tur. Lyder det sjovt? Det var det, men det lærte mig også at påskønne, hvordan praktiske teknikere går til tingene, når der opstår problemer – eller, ofte, kriser!”

Alt er open source

Medlemmerne af Stephen Boyds forskningsgruppe har vidt forskellig akademisk baggrund. Der er kandidater inden for elektro, mekanik, bioengineering, anvendt matematik, ren matematik, medicin, business, matematisk it samt datavidenskab. Den faglige spredning går igen, når Stephen Boyd underviser ca. 350 studerende fra 30 forskellige institutter på Stanford i konveks optimering.

”Uanset hvilket emne jeg taler om, vil der sidde mindst ti mennesker i auditoriet, som ved mere om det end jeg selv. Så der er virkelig tale om et multikulturelt fænomen. Vi bruger mange kræfter på at få folk til at kommunikere indbyrdes, på trods af at de taler forskellige akademiske ’dialekter’, som umiddelbart er gensidigt uforståelige.”

Alt arbejde fra Stephen Boyds hånd – artikler, foredrag og software – udkommer som open source, og det bliver flittigt læst og downloadet.

”Det er svært at give et eksakt tal, men ud fra antallet af downloads og citationer er mit bedste gæt, at der er mindst 100.000 aktive deltagere i vores community. De fleste af dem har vi aldrig mødt. Folk nøjes ikke med at benytte vores software, men bidrager også selv. Det kan meget vel være, at noget nyt software, som jeg er i gang med at anvende, er udviklet af en 16-årig i Estland. Det er en del af det sjove.”

Problemet er en del af løsningen

En yderligere ambition er at gøre software tilgængelig for et større publikum.

”I betragtning af hvad konveks optimering kan, burde der være flere brugere. Men som tingene er i dag, kan vi ikke forvente mere end fire-fem gange så mange brugere. Vi er begrænset af, at man er nødt til at have en del kundskaber inden for matematik for at kunne benytte vores software. For en typisk medarbejder i erhvervslivet vil det formentlig være svært.”

Men ikke for en kandidat fra DTU?
”Alle, der er uddannet på DTU, vil helt sikkert være i stand til at bruge vores software. Alligevel mener jeg, at DTU bør oprette et kursus i konveks optimering. Ikke kun fordi det er et nyttigt værktøj inden for praktisk taget alle ingeniørdiscipliner, men i høj grad også på grund af den tænkemåde, man lærer. Arbejdet med konveks optimering opmuntrer til tværfagligt samarbejde, og endnu vigtigere fremmer det, at man strukturerer sin tænkning. I samme øjeblik du formulerer dit problem rigtigt, er du allerede nået meget langt i forhold til at løse det.” 

Relaterede Videoer  

video thumbnail image

video thumbnail image

video thumbnail image

video thumbnail image

Vis flere