Se det skjulte med matematik: Røntgen CT og lineære ligningssystemer

I øvelsen vil vi beskæftige os med røntgen CT (computer tomografi), som er et klassisk inverst problem. Vi gennemgår: 1) hvordan vi formulerer den matematiske model ud fra fysikken om røntgenabsorption, 2) hvordan vi formulerer CT problemet vha. lineære ligningssystemer og matricer, og 3) hvordan vi løser CT problemet og om det er over-, unikt eller under-bestemt. Desuden skal vi i laboratoriet og lave vores egne CT scanninger og rekonstruktioner.

Hvad går øvelsen ud på?

I øvelsen vil vi beskæftige os med røntgen CT (computer tomografi), som er et klassisk inverst problem. Vi vil gennemgå noget af den bagvedliggende matematiske teori, herunder:

  1. Hvordan vi formulerer den matematiske model ud fra fysikken om røntgenabsorption.
  2. Hvordan vi formulerer CT-problemet. Dette involverer at opstille lineære ligningssystemer baseret på røntgenstrålernes vej gennem materialet.
  3. Hvordan vi løser CT-problemet. Vi vil diskutere hvad det vil sige at problemet er underbestemt, unikt bestemt eller overbestemt og hvilke løsningsmetoder man kan bruge. Vi vil gennemgå mindste kvadraters fit, samt hvorfor regularisering kan forbedre løsningen.

Vi skal også i laboratoriet og lave vores egne CT-scanninger og rekonstruktioner.

Læs mere om SRP-øvelsen på DTU Computes hjemmeside om Tomgrafi

Hvordan foregår øvelsen?

Om formiddagen vil vi arbejde med den matematiske teori bag CT-scanninger. Der vil være forelæsning og regneøvelser.

Om eftermiddagen skal vi i laboratoriet og lave CT-scanninger af små objekter (eleverne må gerne selv tage interessante genstande med). Vi vil bruge data til at lave egne CT-rekonstruktioner. 

Hvilke faciliteter kommer du til at bruge?

Øvelsen organiseres af DTU Compute, og du kommer til at møde PhD studerende/forskere fra DTU Compute, der arbejder med CT-rekonstruktion.

Eksperimenterne foregår i Nanoteket under ledelse af en nanotekar (typisk en fysik studerende).

Nanoteket er et undervisningslaboratorium under DTU Fysik. Det bliver brugt både til undervisning på DTU, men også til besøg fra fx gymnasier.

Læs mere om Nanoteket

Tilmeldingen til SRP-øvelser 2023 er lukket

CT er et glimrende eksempel på hvordan matematisk teori om lineære ligningssystemer kan anvendes til at løse virkelighedens problemer. Den matematisk faglige vinkel kunne dermed oplagt være lineære ligningssystemer, og det optagede CT data og rekonstruktioner kan bruges som anvendt eksempel.

Hvis øvelsen kombineres med fysik, kan man have en faglig vinkel, der inkluderer fysikken i røntgenabsorption.

Hvis øvelsen kombineres med informatik, kan man have en faglig vinkel, der inkluderer iterative algoritmer til optimeringsproblemer, fx gradient descent.

Hvis øvelsen kombineres med biologi eller bioteknologi, kan man have en faglig vinkel, der inkluderer sundhedsmæssige konsekvenser at røntgen CT; det kan både være fordelene ved at kunne se ind i kroppen, men også den skadelige effekt af røntgen stråling.

Formiddag (ca. 9-12): Forelæsning og regneøvelser vedrørende den matematiske teori bag CT scanninger.

Eftermiddag (ca. 13-16): Laboratorieøvelser hvor der laves egene CT-scanninger og rekonstruktioner.

I første halvdel af øvelsen vil man få simple regneeksempler der illustrerer konceptet bag CT-rekonstruktion med hjem.

I anden halvdel laver vi vores egne CT-scanninger og rekonstruktioner vha. computerprogrammer.

Data herfra inkluderer 1) projektioner/sinogrammer (rå data før rekonstruktion i tiff-filer), 2) CT-rekonstruktioner fra maskinernes software (2D tværsnit i tiff-filer og screenshots af 3D rendering) og 3) Jupyter notebook til at lave egne rekonstruktioner fra projektionsdata.

SRP-øvelsens egen hjemmeside kan du finde litteratur og materiale til øvelsen. 

NB: Når du har tilmeldt dig, vil du få besked, hvis der er litteratur, du skal læse som forberedelse til øvelsen.

  • Matematik: Fokus vil ligge på, hvordan lineære ligningssystemer stilles op og løses i forbindelse med CT problemet.
Kan kombineres med:
  • Biologi
  • Bioteknologi
  • Fysik
  • Røntgen CT
  • Lineære ligningssystemer
  • Matricer
  • Over-, unikt og under-bestemte problemer
  • Mindste kvadraters fit
  • Regularisering

Tidspunkt og varighed

  • Onsdag 8. februar kl. 9-16

Antal deltagere

25

Opfølgende møde

- hvor du kan du få hjælp til  din databehandling og stille spørgsmål:

  • Onsdag 1. marts kl. 16-17 på DTU
  • Torsdag 2. marts kl. 16-17 på Zoom

Sprog

Dansk

Arrangør og adresse

DTU Compute
Lyngby Campus

Kontakt

Silja Westphal Christensen

Silja Westphal Christensen Ph.d.-studerende Institut for Matematik og Computer Science